Stato limite ultimo per tensioni normali nel calcestruzzo armato
Un approccio divulgativo

Premessa

Queste note non hanno la pretesa di una trattazione accademica dell'argomento, ma sono state redatte al solo scopo di fissare alcuni concetti ed esporre le modalità operative essenziali a beneficio soprattutto degli ingegneri che avendo calcato, come lo scrivente, le aule universitarie alcuni decenni or sono, sono stati nutriti con dosi generose del cosiddetto metodo delle tensioni ammissibili ed hanno potuto gustare soltanto qualche stilla del metodo degli stati limite, in forma di fuggevoli accenni ad una sorta di curiosità scientifica con scarsi risvolti pratici.

E' più che probabile che qualcuno dei nostri venticinque lettori si imbatta in qualche imprecisione (eufemismo che sta per "errore"). Saremo grati a chi vorrà segnalarcela, sempre nel suddetto spirito di privilegiare la facilità di comprensione rispetto al puro rigore scientifico.

Due parole sul metodo delle tensioni ammissibili

Il metodo delle tensioni ammissibili si basa su quattro ipotesi fondamentali:

1) Conservazione delle sezioni piane;

2) Legame sforzo-deformazione dei materiali (acciaio e calcestruzzo) di tipo lineare proporzionale fino al raggiungimento delle rispettive tensioni "ammissibili";

3) Perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo;

4) Calcestruzzo non reagente a trazione.

Dall'ipotesi di conservazione delle sezioni piane discende che, per qualsiasi stato di sollecitazione, il diagramma delle deformazioni delle diverse fibre di una sezione deve essere lineare. Combinando questa ipotesi con quella della perfetta elasticità proporzionale dei materiali (legge di Hooke) risulta evidente che anche il diagramma delle tensioni nelle varie fibre sarà di tipo lineare proporzionale.

La linearità proporzionale (ossia il comportamento rappresentabile con una retta passante per l'origine degli assi sforzi-deformazioni) è estremamente comoda, in quanto consente soluzioni in forma chiusa espresse generalmente da formule piuttosto semplici. Questa circostanza, unita al fatto che gli ingegneri hanno notoriamente poco tempo da perdere, ha contribuito a decretare il successo del metodo delle tensioni ammissibili, considerata la scarsa disponibilità all'epoca di strumenti di calcolo rapidi e potenti (c'era ancora il regolo di legno...).

Ciò non esclude la consapevolezza del fatto che il reale comportamento del calcestruzzo e dell'acciaio si discosta sensibilmente dalla linearità, sia per la presenza di rami plastici ai livelli di deformazione più elevati, sia (nel caso del calcestruzzo) di una pronunciata non-linearità anche nel campo considerato elastico.

Comunque sia, la semplicità concettuale ed operativa del metodo delle tensioni ammissibili è accattivante. Considerando, per fissare le idee, una sezione rettangolare con un solo livello di armatura sottoposta a flessione semplice, la verifica può essere effettuata con immediate considerazioni di tipo sostanzialmente geometrico.

Essendo s_c = E_c e_c (per valori negativi di deformazione, corrispondenti a compressione, altrimenti zero),  s_s = E_s e_s  , noto lo stato di deformazione risulta immediata la determinazione delle risultanti di trazione e compressione C e T (uguali ed opposte per la flessione semplice) e del braccio delle forze interne, e quindi in definitiva è determinato il momento esterno. Viceversa, noto il momento esterno risulta immediatamente individuato lo stato tensionale e quindi quello di deformazione. Le relazioni in forma chiusa comportano la risoluzione di una semplice equazione di secondo grado.

In presenza di forza assiale l'equazione diventa di terzo grado, ma il problema resta comunque immediatamente risolubile in maniera semplice.

Quattro parole sul metodo degli stati limite

A conti fatti, dal punto di vista concettuale il metodo degli stati limite non è poi così diverso da quello delle tensioni ammissibili.

Delle quattro ipotesi fondamentali, citate a proposito del metodo delle tensioni ammissibili, tre restano ancora valide, mentre una sola viene modificata. Si tratta della seconda ipotesi (comportamento lineare elastico dei materiali), che viene sostituita da leggi costitutive tali da approssimare meglio l'effettivo legame sforzo-deformazione per l'acciaio e per il calcestruzzo. Le diverse normative forniscono i diagrammi dei legami costitutivi dei materiali, schematizzati in modo da approssimare le curve tensioni-deformazioni "vere" del calcestruzzo e dell'acciaio. I valori delle tensioni di calcolo si deducono riducendo quelle di snervamento dell'acciaio e di rottura del calcestruzzo con opportuni coefficienti. Alla fine disporremo di diagrammi del tipo illustrato in figura:

Si noti che nel diagramma relativo al calcestruzzo, reagente alla sola compressione, i valori delle tensioni e delle deformazioni sono negativi; le prime decrescono procedendo verso destra, le seconde decrescono procedendo verso l'alto. Per l'acciaio è da considerare anche la parte positiva, antisimmetrica, del diagramma, essendo il materiale reagente sia a trazione che a compressione.

Il comportamento del calcestruzzo è generalmente schematizzato con un ramo parabolico (ramo elastico non lineare) e un ramo plastico di limitata estensione (le nostre norme italiane fissano per e_cy e e_cu rispettivamente i valori -0.0020 e -0.0035). Per l'acciaio, schematizzato come una bilatera (o con spezzate più complesse in altre normative) l'escursione in campo plastico è più ampia. Il valore di e_sy è infatti piuttosto piccolo, essendo pari a f_sd/E_s , mentre la deformazione ultima e_su è fissata a 0.01. Il problema della determinazione dello stato tensionale a partire da quello deformativo è identico a quello già esaminato nel caso del metodo delle tensioni ammisssibili, con l'unica variante che non c'è più proporzione tra tensioni e deformazioni, ma le une vanno dedotte dalle altre leggendone i valori nei diagrammi costitutivi, o applicando le relazioni non lineari che caratterizzano i materiali stessi. E' quindi meno "comodo", anche nel caso semplice di sezione rettangolare semplicemente inflessa, procedere alla verifica. Quest'ultima è da intendersi come controllo dell'entità delle massime deformazioni (e non più delle tensioni) raggiunte nella sezione per equilibrare le forze esterne.

Consideriamo una sezione di calcestruzzo di forma generica, con armature comunque disposte al suo interno.

Per il momento considereremo nota la direzione dell'asse neutro (sezione simmetrica, asse di sollecitazione coincida con un asse principale d'inerzia). Al caso di sollecitazioni deviate si farà qualche cenno in seguito.

La prima operazione da fare consiste nella discretizzazione della sezione, che opereremo suddividendo l'area di calcestruzzo in strisce orizzontali (parallele all'asse neutro). I risultati saranno tanto più precisi quanto più fitta sarà la suddivisione. Ai fini pratici, alcune decine di strisce di uguale altezza conducono già a risultati più che soddisfacenti. Per ogni striscia provvederemo a registrare l'area A_c e la quota y_c della fibra media rispetto all'intradosso della sezione. Passeremo poi in rassegna le armature, raggruppandole in strati orizzontali e registrando, per ciascuno strato, l'area A_s e la quota y_s.

Assegniamo un generico diagramma di deformazione, con i valori e₁ al lembo inferiore ed e₂ al lembo superiore. Ora passiamo in rassegna le diverse strisce di calcestruzzo. Per ciascuna di esse la deformazione vale: e_ci = e_c1 + y_ci x (e_c2 - e_c1) / H (avendo indicato con H l'altezza totale della sezione).

Entriamo nel diagramma tensioni-deformazioni del calcestruzzo, e leggiamo il valore della tensione s_ci in corrispondenza della deformazione e_ci. Per deformazioni positive (trazione) la tensione sarà considerata nulla, essendo il calcestruzzo inefficace a trazione. Nel caso in figura saremo nel ramo parabolico della curva.

La striscia di calcestruzzo considerata fornisce dunque un contributo in termini di forza assiale n_i = A_ci x s_ci , e  un contributo in termini di momento flettente m_i =  n_i x y_ci (per comodità calcoliamo i momenti rispetto al lembo inferiore, sarà poi facile traslarli rispetto al polo desiderato).

Ripeteremo l'operazione per tutte le strisce di calcestruzzo, limitandoci ovviamente a quelle compresse (e < 0), e sommando progressivamente tutti i contributi alla forza assiale e tutti quelli al momento flettente.

Poi passeremo in rassegna i diversi strati di armatura e per ciascuno di essi ricaveremo la tensione s_si dal diagramma tensioni-deformazioni dell'acciaio; moltiplicando la tensione per l'area dello strato avremo il contributo alla forza assiale (che sommeremo a quella fornita dal calcestruzzo), e il relativo contributo al momento flettente, che sommeremo ugualmente a quello relativo al calcestruzzo. L'acciaio contribuisce sia alle forze di trazione che a quelle di compressione.

Al termine del procedimento avremo calcolato i valori delle due caratteristiche di sollecitazione N e M associate allo stato deformativo esaminato. Queste in generale non è detto che coincidano con lo stato di sollecitazione da verificare, e pertanto occorrerebbe procedere per tentativi, esaminando successivamente diversi diagrammi di deformazione fino a trovere quello che fornisce le caratteristiche di sollecitazione desiderate.

Un procedimento molto usato, applicabile facilmente anche a sezioni di forma irregolare, consiste nella costruzione del dominio di interazione tra sforzo assiale e momento flettente. La curva che se ne ricava costituisce il dominio di resistenza ultima nel piano M/N, ed è quindi poi facile controllare se il punto rappresentativo di uno stato di sollecitazione M, N cade all'interno del dominio (verifica soddisfatta) o all'esterno (verifica non soddisfatta).

Vediamo dunque quali sono le modalità operative per costruire il dominio di resistenza allo stato limite ultimo di una sezione qualsiasi per tensioni normali.

La generica sezione può deformarsi in infiniti modi, sempre però mantenendosi piana. Quindi esistono infiniti diagrammi di deformazione possibili, purché non si superi in alcun punto della sezione la deformazione ultima dei due materiali (e_cu ed e_su). Siamo dunque interessati alla costruzione della sola curva di frontiera del dominio (cioè di tutti quei punti nei quali la sezione entra in crisi per raggiungimento della deformazione ultima del calcestruzzo e/o dell'acciaio). Dovremmo prendere quindi in esame, tra gli infiniti diagrammi di deformazione, "soltanto" quei diagrammi (anch'essi in numero infinito) nei quali è raggiunta ma non superata la deformazione ultima di almeno uno dei materiali. L'infinità del numero di questi diagrammi si può ridurre in pratica ad un numero piuttosto contenuto, perché la frontiera del dominio sarà sempre una curva abbastanza regolare e quindi sarà sufficiente calcolarne un certo numero di punti per riprodurla con una approssimazione soddisfacente. D'altra parte al giorno d'oggi la potenza e la velocità di calcolo di un qualsiasi elaboratore personale è tale da consentire in pochi attimi la costruzione di una curva spinta al grado di approssimazione desiderato.

Alla base di tutto c'è la considerazione che ad un particolare diagramma di deformazione corrisponde soltanto un particolare stato di sollecitazione (un punto del dominio) e viceversa. Quindi ad un diagramma di deformazione limite corrisponderà un ben preciso punto sulla frontiera del dominio.

Potremo dunque procedere come illustrato nella figura seguente.

Esaminiamo per prima cosa il diagramma di deformazione contrassegnato con 1, che rappresenta la situazione di deformazione di allungamento uniforme delle fibre al valore ultimo di allungamento per l'acciaio (i valori indicati in figura saranno eventualmente sostituiti con quelli appropriati, qualora diversi). Ricaveremo, con il procedimento sopra discusso, la prima coppia di valori N-M, che rappresenta il primo punto sulla frontiera del dominio di resistenza. Il valore del momento flettente calcolato rispetto al lembo inferiore della sezione sarà positivo (perché, con le convenzioni adottate, sono positive sia la forza che la quota del singolo strato). Il momento diventa evidentemente nullo se riferito al baricentro della sezione reagente, costituita in questo caso dal solo acciaio. Spesso si preferisce costruire la curva di interazione calcolando i momenti rispetto a un polo fisso (per esempio, il baricentro della intera sezione di calcestruzzo); in questo caso il valore del momento associato al diagramma di deformazione 1 potrebbe risultare diverso da zero (nel caso di sezione e/o armature non simmetriche rispetto all'asse orizzontale per il polo).

Procediamo quindi all'esame di altri diagrammi di deformazione, ottenuti facendo ruotare il diagramma 1 intorno al punto A fino a raggiungere, con successivi incrementi della rotazione, i diagrammi contrassegnati con 2 e con 3. Tra il diagramma 1 e il diagramma 2 avremo cura di calcolare un certo numero di posizioni intermedie, e così pure passando dal diagramma 2 al diagramma 3, in modo da ricavare diverse coppie di valori N-M, che riporteremo nel grafico del dominio. Si noti che ciascuno dei diagrammi è un diagramma limite, perché almeno nel punto A si raggiunge una deformazione limite. Il diagramma 3 presenta poi due punti limite, il punto A (massimo allungamento dell'acciaio) e il punto B (massimo accorciamento del calcestruzzo), e rappresenta quindi la cosiddetta condizione di "rottura bilanciata", con il massimo sfruttamento dei materiali. Passando dal diagramma 1 al diagramma 3 lo sforzo assiale diminuisce (algebricamente), e quindi tende verso la compressione, raggiungendola o meno a seconda del quantitativo di armatura inferiore e della forma della sezione.

Si noti che i primi step intermedi tra i diagrammi 1 e 2 forniranno tutti lo stesso risultato, in quanto il calcestruzzo non reagisce e le armature sono tutte tese oltre il limite elastico, e quindi continuano a fornire tutte la stessa tensione pari a f_cd. Soltanto quando l'armatura più alta scende al di sotto del limite elastico i risultati cominciano a cambiare. Si potrebbe allora scegliere come primo diagramma da esaminare quello che congiunge il punto A con il punto avente deformazione e_sy alla quota dello strato di armatura più alto, controllando però che in tal caso il lembo superiore della sezione non risulti ancora compresso (circostanza che potrebbe verificarsi nel caso in cui la quota dell'ultimo strato di armatura fosse troppo bassa).

Raggiunto il diagramma 3 non possiamo più continuare a ruotare il diagramma intorno al punto A, perché supereremmo il limite ultimo per il calcestruzzo. Inizieremo allora a ruotare il diagramma intorno al punto B (mantenendo cioè il lembo superiore al valore limite di deformazione di accorciamento), fino a raggiungere successivamente (con alcuni step intermedi) i diagrammi 4 (caratterizzato dal raggiungimento del limite elastico nell'armatura più bassa) e 5 (primo diagramma in corrispondenza del quale la sezione risulta tutta compressa).

A questo punto potremo iniziare una rotazione intorno al punto C, in modo da raggiungere il diagramma 6 in corrispondenza del quale si ha una deformazione uniforme di accorciamento della sezione opportunamente limitata al valore e_cy , come prescritto generalmente dalle diverse normative. La quota del punto C è subito determinabile geometricamente con semplici considerazioni di proporzionalità tra i valori e_cy ed e_cu . Al diagramma di deformazione 6 potrà essere associato un momento flettente non nullo rispetto al polo prescelto, per quanto già visto nel caso del diagramma 1.

Abbiamo in questo modo percorso tutte le vicende della sezione, passando dalla deformazione di trazione uniforme a quella di compressione uniforme, ma abbiamo calcolato in realtà soltanto metà della frontiera del dominio, perché abbiamo considerato diagrammi inclinati tutti nello stesso verso, e cioè curvature tutte dello stesso segno. I momenti calcolati saranno infatti sempre positivi (o nulli), perché il lembo superiore della sezione è sempre più compresso di quello inferiore ( o al più alla stessa tensione). Se la sezione è simmetrica rispetto al suo asse orizzontale mediano (armature incluse) la restante parte del dominio risulterà simmetrica, e quindi il lavoro è finito. In caso contrario per completare la curva occorre continuare il procedimento considerando gli analoghi diagrammi con curvatura di segno opposto (diagrammi con numeri contrassegnati da apice e poli di rotazione con lettere contrassegnate da apice nella figura seguente).

A questo punto risulterà completamente individuato l'intero dominio di resistenza della sezione nel piano N-M, sempre nell'ipotesi di sollecitazioni rette (asse neutro perpendicolare all'asse di sollecitazione).

Nella figura qui sopra sono illustrate due tipiche forme della curva di interazione ottenute con il procedimento descritto (le forze assiali sono negative verso l'alto). La curva a sinistra è relativa ad una sezione rettangolare con armatura simmetrica, quella a destra si riferisce sempre alla stessa sezione rettangolare, ma con armature fortemente asimmetrica.

Vediamo ora come è possibile operare nel caso di sollecitazioni deviate (asse di sollecitazione non coincidente con un asse principale d'inerzia, e quindi asse neutro non perpendicolare all'asse di sollecitazione).

Stabilito nel piano della sezione un sistema di riferimento X-Y, il generico momento flettente potrà essere scomposto secondo i due assi del riferimento. Avremo così a che fare con tre componenti di sollecitazione (N, M_x, M_y). E' evidente che il dominio di resistenza della sezione non sarà più raffigurabile con una figura piana, bensì con un solido nello spazio N-M_x-M_y.

 La costruzione del solido in questione può essere effettuata assegnando successive direzioni arbitrarie all'asse neutro, e ripetendo per ognuna di esse il procedimento prima descritto (discretizzazione del calcestruzzo in strisce e raggruppamento delle armature in strati, con strisce e strati paralleli alla direzione dell'asse neutro in esame).

Nella figura qui sopra è illustrato il caso di una sezione generica, per la quale è stato scelto di esaminare sei successive direzioni dell'asse neutro, da n1 a n6. Nella parte più a destra è illustrato il criterio di discretizzazione del calcestruzzo  e stratificazione delle armature per la generica direzione n dell'asse neutro.

In sostanza, per la generica direzione n dell'asse neutro si opera esattamente come nel caso della sollecitazione retta, stabilendo il sistema di riferimento X'-Y' in modo che l'asse X' risulti parallelo all'asse neutro. Nella curva di interazione che ne risulta, il momento M calcolato per ciascun punto agirà intorno all'asse X'. Per riportare il singolo punto nel dominio tridimensionale dovremo scompore tale momento M_x' rispetto agli assi del riferimento X-Y ottenendo i due momenti M_x ed M_y che ci interessano, unitamente alla forza assiale N (che resta evidentemente invariata).

Quando riportiamo nello spazio N-M_x-M_y i punti della curva di interazione piana N-M_x' ricavata per una particolare direzione dell'asse neutro ci accorgiamo che essi non giacciono tutti su un piano (cioè non costituiscono un meridiano del solido di interazione che rappresenta il dominio di resistenza), ma descrivono sulla superficie del solido una curva variamente svergolata, in relazione alla geometria e all'armatura della sezione e alla particolare direzione dell'asse neutro. Per interpretare agevolmente il solido, potremo sezionarlo, per esempio, con piani perpendicolari all'asse N della forza assiale, ottenendo curve ad N costante, rappresentate nel piano M_x-M_y. Nell'effettuare la sezione per un certo livello di N non passeremo in generale per i punti calcolati sulle diverse curve, e sarà quindi necessaria una interpolazione tra i due punti della curva con livelli di N a cavallo del valore richiesto.

Riportando su un unico piano M_x-M_y diverse curve a N costante ottenute per diversi livelli di N constatiamo che queste si dispongono l'una all'interno dell'altra, in modo più o meno "concentrico" a seconda delle particolarità della sezione. Per la verifica di uno stato di sollecitazione caratterizzato dalla forza assiale N* e dai momenti flettenti M_x* ed M_y* sarà sufficiente controllare che il punto rappresentativo ricada all'interno delle due curve tracciate per il livello di forza assiale N immediatamente minore e maggiore di quello che compete al punto da verificare.

Nelle due seguenti figure sono rappresentati rispettivamente l'assonometria del solido di interazione e l'insieme di curve a N costante (elementi ricavati dall'analisi di una sezione di forma generica, con 36 successive direzioni dell'asse neutro).